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Aplicas los elementos y las ecuaciones de una elipse
B
loque
VII
Encuentra la ecuación de la elipse en sus formas ordinaria y general, además de todos sus
elementos, dados
C
(7,
–
2), eje mayor = 8, eje menor = 4 y eje focal paralelo al eje
X
.
Solución
Según las condiciones geométricas dadas, tenemos una ecuación de la forma
(
௫ି
)
మ
మ
+
(
௬ି
)
మ
మ
= 1
donde
h =
7 y
k = -
2
Dada la longitud del lado mayor
2a
= 8 despejamos
a:
a
=
଼
ଶ
a
= 4
Dada la longitud del lado menor
2b = 4
despejamos
b:
b
=
ସ
ଶ
b
=2
Como
c
2
=
a
2
–
b
2
c
2
= (4)
2
–
(2)
2
=
16
–
4
c
2
= 12
c
=
ξ
12
c
= 3.5
a) Al sustituir estos valores en la ecuación en forma ordinaria:
(
௫ି
)
మ
(
ସ
)
మ
+
(
௬ି
(
ିଶ
))
మ
(
ଶ
)
మ
= 1
(
௫ି
)
మ
ଵ
+
(
௬ାଶ
)
మ
ସ
= 1
b) Desarrollamos para la ecuación en forma general:
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por
el mcm (16 x 4 = 64):
ସ
(
௫ି
)
మ
ଵ
+
ସ
(
௬ାଶ
)
మ
ସ
= 1(64)
Y dividiendo entre los denominadores:
4(
x
–
7)
2
+ 16(y + 2)
2
= 64
Desarrollando los binomios y multiplicando:
4(x
2
–
14x + 49) + 16(y
2
+ 4y + 4) = 64
4x
2
–
56x + 196 + 16y
2
+ 64y + 64
–
64 = 0
Reduciendo términos y acomodando:
4x
2
+ 16y
2
–
56x + 64y + 196 = 0
c) Las coordenadas de los vértices del eje mayor
V
(
h + a, k
)
y
9¶
(
h
a, k
)
V
(7 + 4, -2)
y
9¶
(7
–
4, -2)
V
(11,-2) y
9¶
(3, -2)
d) Las coordenadas de los vértices del eje menor
B
(
h, k + b
)
y
%¶
(
h, k
b
)
B
(7, -2 + 2)
y
B
¶
(7,
–
2
–
2)
B
(7, 0)
y
B
¶
(7, -4)
e) Las coordenadas de los focos
F
(
h + c, k
)
y
)¶
(
h
c, k
)
F
(7 + 3.5, -2
)
y
B
¶
(7
–
3.5,
–
2)
F
(10.5, -2)
y
F
¶+
3.5, -2)
f) La longitud del lado recto
LR
LR
=
ଶ
మ
=
ଶ
(
ଶ
)
మ
ସ
=
ଶ
(
ସ
)
ସ
=
଼
ସ
LR
= 2
g) La longitud del eje mayor
99Ԣ
തതതതത
= 2a = 2(4)
99Ԣ
തതതതത
= 8
h) La longitud del lado menor
%%Ԣ
തതതതത
= 2b = 2(2)
%%Ԣ
തതതതത
4
(MHPSOR#8
262