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Aplicas los elementos y las ecuaciones de una elipse
(MHPSOR#4
Ejemplo
Encuentra la ecuación de la elipse y todos sus elementos, cuyos vértices están en
V(0, 5)
y
9¶+3/#
-5)
y sus focos en
F(0, 4)
y
)¶+3/#
-4)
.
Solución
Por los datos, concluimos que es una elipse con vértice en el origen y es vertical, ya
que tanto los vértices como los focos tienen abscisa 0, lo que indica que su eje focal
está sobre el eje
x
.
Por lo tanto, tiene la forma
௫
మ
మ
+
௬
మ
మ
= 1, por lo que procedemos a calcular los
valores de
a
y
b
.
Como las coordenadas de sus vértices son
V
(0
, a
) y
9¶+
0
, -a
),
el valor de
a = 5
y por las coordenadas del foco
F
(0
, c
) y
)¶+
0
, -c
), el valor de
F#!#71
Utilizamos la relación c
2
= a
2
b
2
y despejamos b
2
, obteniendo c
2
a
2
=
b
2
, que al
multiplicar toda la ecuación por (-1) obtenemos: b
2
= a
2
c
2
y sustituyendo los valores de a y c:
b
2
= (5)
2
(4)
2
b
2
= 25
16
b
2
= 9
b =
ξ
9
b = 3
Sustituyendo los valores de a y b en la forma ordinaria de la ecuación de la elipse:
௫
మ
(
ଷ
)
మ
+
௬
మ
(
ହ
)
మ
= 1
௫
మ
ଽ
+
௬
మ
ଶହ
= 1 que es la ecuación de la elipse.
Calculamos las coordenadas del lado recto:
L
=
ቀ
ୠ
మ
ୟ
, c
ቁ
=
ቀ
(
ଷ
)
మ
ହ
, 4
ቁ
L
=
ቀ
ଽ
ହ
, 4
ቁ
2¶#
=
ቀെ
ୠ
మ
ୟ
, c
ቁ
=
ቀെ
(
ଷ
)
మ
ହ
, 4
ቁ
L
¶
=
ቀെ
ଽ
ହ
, 4
ቁ
R
=
ቀ
ୠ
మ
ୟ
,
െ
c
ቁ
=
ቀ
(
ଷ
)
మ
ହ
,
െ
4
ቁ
R
=
ቀ
ଽ
ହ
,
െ
4
ቁ
R
¶
=
ቀെ
ୠ
మ
ୟ
,
െ
c
ቁ
=
ቀെ
(
ଷ
)
మ
ହ
,
െ
4
ቁ
R
¶
=
ቀെ
ଽ
ହ
,
െ
4
ቁ
255