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Aplicas las propiedades
de segmentos rectilíneos y polígonos
Indica la razón en la que el punto P(-1,-8) divide al segmento
de recta
P
ଵ
P
ଶ
തതതതതത
cuyos puntos extremos son P
1
(-2,-12) y P
2
(2,4)
Solución:
Se calcula la distancia entre los puntos P
1
y P:
P
ଵ
P
തതതതത
=
ඥ
(
െ
2
െ
(
െ
1))
ଶ
+(
െ
12
െ
(
െ
8))
ଶ
P
ଵ
P
തതതതത
=
ඥ
(
െ
2 + 1)
ଶ
+(
െ
12 + 8))
ଶ
P
ଵ
P
തതതതത
=
ඥ
(
െ
1)
ଶ
+(
െ
4)
ଶ
P
ଵ
P
തതതതത
=
ξ
1 + 16
P
ଵ
P
തതതതത
=
ξ
17
Ahora se calcula la distancia entre P y P
2
:
PP
ଶ
തതതതത
=
ඥ
(
െ
8
െ
4)
ଶ
+(
െ
1
െ
2)
ଶ
PP
ଶ
തതതതത
=
ඥ
(
െ
12)
ଶ
+(
െ
3)
ଶ
PP
ଶ
തതതതത
=
ξ
144 + 9
PP
ଶ
തതതതത
=
ξ
153
=
ඥ
9(17)
Utilizando la fórmula r
=
భ
మ
se sustituyen estos valores:
r =
ξଵ
ඥଽ
(
ଵ
)
=
ξଵ
ξଽ
ξଵ
=
ଵ
ξଽ
=
ଵ
ଷ
r =
Si un punto P(
x,y
) es un punto que divide al segmento
P
ଵ
P
ଶ
തതതതതത
, cuyos extremos tienen
coordenadas P
1
(
x
1
,
y
1
) y P
2
(
x
2
,
y
2
) en una razón
r
dada, entonces, para calcular las
coordenadas del punto P utilizaremos las siguientes fórmulas:
Coordenadas del punto
x
=
௫
భ
ା
௫
మ
ଵ
ା
Coordenadas del punto
y
=
௬
భ
ା
௬
మ
ଵ
ା
x- x
1
x
1
–
x
y- y
1
y
2
–
y
A(x,y
1
)
B(x
2
,y)
Tomando en cuenta el teorema de Tales acerca
de triángulos semejantes:
భ
=
௫
ି
௫
భ
௫
మ
ି
௫
=
భ
మ
=
ݎ
మ
=
௬
ି
௬
భ
௬
మ
ି
௬
=
భ
మ
=
ݎ
Tomando
௫
ି
௫
భ
௫
మ
ି
௫
=
r
para despejar
x
tenemos:
x
–
x
1
=
r
(
x
2
–
x
)
Multiplicando el lado derecho
x
–
x
1
= rx
2
–
rx
Pasando las
x
del lado izquierdo
y las
x
1
del lado derecho.
x
+
rx
=
rx
2
+
x
1
Factorizando el lado izquierdo.
x
(1 +
r
) =
rx
2
+
x
1
Despejando
x
de la izquierda.
x
=
௫
భ
ା
௫
మ
ଵ
ା
De igual manera se calcula para
y
1
81