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201
Posibles procedimientos.
Hay distintas formas de resolver este
problema. Una de ellas consiste en calcular el área de cada uno de los
triángulos que forman las superficies blancas y azules. El área azul está
formada por los
4
triángulos azules grandes,
4
azules medianos,
4
azules
pequeños y el cuadrado azul pequeño del centro.
Cada triángulo azul grande tiene un área de
8
cm
2
, cada triángulo azul
mediano tiene
2
cm
2
, cada triángulo azul pequeño tiene
0.5
cm
2
y el
cuadrado azul pequeño tiene un área de
1
cm
2
. La suma del área de los
triángulos azules grandes es de
32
cm
2
, la de los medianos es de
8
cm
2
y la de los pequeños es de
2
cm
2
.
El área azul es:
32
cm
2
+
8
cm
2
+
2
cm
2
+
1
cm
2
=
43
cm
2
.
Siguiendo el mismo procedimiento,
el área blanca es:
16
cm
2
+
4
cm
2
+
1
cm
2
=
21
cm
2
.
(Puede observarse que dentro de cada cuadrado hay otro cuadrado cuya
área es la mitad del área del cuadrado que lo contiene.)
Otro procedimiento consiste en tomar como referencia al cuadrado
pequeño que se ubica al centro de la figura. El área de este cuadrado es
de
1
cm
2
. A partir de él se puede cuadricular toda la figura, de manera
tal que es posible, mediante el conteo de unidades cuadradas de
1
cm
2
,
obtener el área de la región azul y de la región blanca.
I
MATEMÁTICAS
201
Tomando en cuenta sólo la parte del piso que está dentro de la línea negra, contesten
las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el área de esta parte del piso?
b) ¿Cuánto mide el área de la región cubierta por las baldosas grises (tanto cuadradas
como rectangulares)?
c) ¿Cuántas veces más grande es el área de la región azul que el área de la roja?
d) Comenten sus resultados y compárenlos.
2.
Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el área del triángulo completo?
b) ¿Cuánto mide el área de la región azul?
c) ¿Cuánto mide el área de la región gris?
Comparen sus soluciones y comenten:
¿Cómo calcularon el área de las dos regiones?
3.
Midan lo que sea necesario en la figura 3 y
contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el área de la región azul?
b) ¿Cuánto mide el área de la región blanca?
c) Escriban en sus cuadernos los
procedimientos que utilizaron para
calcular las áreas de la región azul
y de la región blanca.
Comenten sus procedimientos.
Figura 2
Figura 3
Respuestas.
a)
16
m
2
. Este resultado puede obtenerse de
distintas maneras:
2
baldosas rectangulares
equivalen a
1
cuadrada, entonces la medida
de cada lado de la figura delimitada por la
línea negra mide
4
m ×
4
m =
16
m
2
. También pueden
calcular el área de una baldosa rectangular
y multiplicarla por el número de baldosas
rectangulares (
0.5
m
2
×
16
=
8
m
2
), y luego
sumar ese resultado con el área total de las
baldosas cuadradas:
8
m
2
+
8
m
2
=
16
m
2
.
b)
10
m
2
. Son
8
baldosas cuadradas y
4
baldosas rectangulares. Cada baldosa
cuadrada tiene
1
m
2
de superficie,
y cada baldosa rectangular tiene
0.5
m
2
de superficie. En total son
8
m
2
+
2
m
2
=
10
m
2
.
c) El área azul son
8
baldosas rectangulares,
el área roja son
4
baldosas rectangulares.
Es decir que el área azul es el doble de
la roja.
Sugerencia didáctica.
Los alumnos deben
llegar a los mismos resultados, pero los
procedimientos para resolver pueden ser
distintos. Procure que se comparen al menos
dos procedimientos diferentes.
Respuestas.
a) La base es de
6
cm, la altura es de
4
cm. El
área del triángulo completo es de
12
cm
2
.
b)
6.75
cm
2
. Hay distintas formas de llegar
a este resultado. Una de ellas es calcular
la medida de cada triángulo pequeño (los
triángulos pequeños, azules y grises, miden
lo mismo). Para ello puede tomarse como
referencia el área del triángulo gris mayor,
pues el triángulo completo puede dividirse
en 4 triángulos iguales al triángulo gris
mayor. El área de cada uno de ellos
es:
=
3
cm
2
.
3
×
2
2
Cada uno de esos triángulos se divide a
su vez en
4
triángulos pequeños iguales.
El área de cada uno de ellos es de
0.75
cm
2
(esto se obtiene dividiendo el área del
triángulo gris mayor entre
4
). El área de
la región azul son los
9
triángulos azules
pequeños; por lo tanto, el área de la región
azul es
0.75
×
9
=
6.75
cm
2
.
c)
5.25
cm
2
. Esto puede obtenerse de diversas
formas: restando al área total el área
azul; o bien, contando cuántos triángulos
grises pequeños hay en total (el triángulo
gris mayor equivale a
4
pequeños, en
total son
7
triángulos grises pequeños), y
multiplicando por
0.75
.