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Libro para el maestro
Respuestas.
En la figura 1 hay un bloque
de área
x
2
,
10
de área
x
y
25
de área
1
,
por lo tanto, las expresiones correctas son
x
2
+ 5
x
+ 5
x
+ 25
y
x
2
+ 10
x
+ 25
.
Posibles procedimientos.
Los alumnos podrían
multiplicar lado por lado del cuadrado para
obtener el área, es decir,
(
x
+ 5) (
x
+ 5)
; pero
también se pueden fijar en el dibujo del
cuadrado y contar directamente cuántos bloques
de cada área hay. A los alumnos que hayan
utilizado la multiplicación de binomios para
resolver, pídales que verifiquen su resultado
contando los bloques en el dibujo.
Sugerencia didáctica.
Aunque se espera que
los alumnos ya lo sepan, conviene recordarles
que “elevar un número o un término al
cuadrado” significa que ese número o término
se multiplica por sí mismo una vez.
Posibles dificultades.
Cuando se trate de un
solo número, los alumnos quizá no tengan
dificultades para elevarlo al cuadrado, pero
puede haber dudas cuando sea un término
como
x
+ 5
. Algunos podrían pensar que
x
+ 5
al cuadrado es igual a:
x
2
+ 5
x
+ 25
2
x
+ 10
x
2
+ 25
Si cometen alguno de esos errores, lean juntos
el recuadro “Recuerden que” y proponga
algunos ejemplos para que los resuelvan:
(4 + 5)
2
= 81
(7 +
b
)
2
=
b
2
+ 14
b
+ 49
(
z
+
w
)
2
=
z
2
+ 2
zw
+
w
2
14
SECUENCIA 1
Manos a la obra
I.
La figura 1 muestra un cuadrado que mide de lado
x
+ 5
.
x
+ 5
x
+ 5
Figura 1
a) ¿Cuántos bloques de área
x
2
se utilizaron para formar
el cuadrado?
b) ¿Cuántos de área
x
?
c) ¿Cuántos de área
1
?
d) De las siguientes expresiones, subrayen las que repre-
sentan el área del cuadrado.
x
+ 5
x
2
+ 5
x
+ 5
x
+25
x
2
+ 25
x
2
+ 10
x
+25
e) Verifiquen si las expresiones que subrayaron se obtie-
nen al elevar al cuadrado el binomio
x
+ 5
. Para eso,
completen la multiplicación
(
x
+ 5) (
x
+ 5)
y luego
sumen los términos semejantes para obtener un trino-
mio.
(
x
+ 5)
2
= (
x
+ 5) (
x
+ 5)
=
=
Recuerden que:
Para multiplicar dos binomios se multiplica
cada término de un binomio por todos
los términos del otro y luego se suman los
términos que son semejantes.
(
x
+ 7) (
x
+ 7) =
x
2
+ 7
x
+ 7
x
+ 49
=
x
2
+ 14
x
+ 49
Comparen sus soluciones y comenten cuál de los siguientes procedimientos usarían para
hacer de manera simplificada la multiplicación
(
x
+ 8) (
x
+ 8)
, sin necesidad de hacer
una multiplicación término por término.
• El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer término
(
x
2
)
y el cuadrado
del segundo término
(64)
.
• El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer término
(
x
2
)
más el produc-
to de los dos términos
(8
x
)
más el cuadrado del segundo término
(64)
.
• El resultado se obtiene sumando el cuadrado del primer término
(
x
2
)
más el doble del
producto de los dos términos
(16
x
)
más el cuadrado del segundo término
(64)
.
Verifiquen sus reglas haciendo la multiplicación
(
x
+ 8) (
x
+ 8)
.
Sugerencia didáctica.
Permita que los alumnos
comenten cada una de las reglas siguientes e
invítelos a justificar la validez de cada una verifi-
cando si la regla funciona para cualquier
binomio. Para ello, pueden usar los datos de
tabla o los dibujos de los cuatro cuadrados que
formaron con los bloques algebraicos.
Propósito de la actividad.
Los alumnos ya
saben multiplicar dos binomios, así que el
énfasis en esta parte está puesto en que
aprendan que, al elevar al cuadrado un binomio,
se obtiene un trinomio.
Por ello, no es tan importante que hagan las
multiplicaciones en un orden específico, sino que
logren analizar el producto que obtienen porque
a partir de esa información podrán comprender
una nueva regla:
El cuadrado del primer término más el doble
del primero por el segundo término, más el
cuadrado del segundo término, nos da como
resultado un trinomio.