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Libro para el maestro
Sugerencia didáctica.
Quizá sea difícil para
los alumnos factorizar la ecuación en su forma
general. Si los alumnos no lo logran, sigan
adelante y luego corrijan lo que aquí quede
pendiente.
Posibles dificultades.
Los alumnos pueden
encontrar difícil factorizar expresiones como
4
x
2
+ 72
x
– 252 = 0
, en las que el coeficiente
del término cuadrático es diferente de
1
. En este
caso, se les propone dividir todos los términos
entre
4
para que el término cuadrático tenga
coeficiente
1
, pero es importante que analicen
juntos porqué se hace esa división.
Propósito de la sesión.
Modelar problemas
mediante ecuaciones cuadráticas y resolverlas
por factorización.
Sugerencia didáctica.
Lea junto con sus
alumnos este apartado y escriba en el pizarrón
los ejemplos para analizarlos.
También será útil que los alumnos comenten lo
que significa “efectuar todas las operaciones de
un lado” de la ecuación y que “los términos ya
no pueden reducirse”. Para ello, pida a algunos
alumnos que expliquen qué entienden por cada
una de esas condiciones.
Respuesta.
Lo primero que hay que hacer para
escribir la ecuación en su forma general es
igualarla a cero. Entonces, se resta 6 de los dos
lados del signo igual.
2
x
2
+ 6 (
x
+ 1) – 3
x
– 6 = 6 – 6
2
x
2
+ 6 (
x
+ 1) – 3
x
– 6 = 0
Luego, hay que reducir los términos, es decir,
efectuar las operaciones indicadas entre los
términos semejantes. Paso por paso, sería:
2
x
2
+ 6
x
+ 6 – 3
x
– 6 = 0
2
x
2
+ 3
x
= 0
108
SECUENCIA 9
SESIÓN 3
EL ADORNO
Para empezar
Una ecuación cuadrática está en su
forma general
cuando un lado de la igualdad es
0
y
en el otro lado se han efectuado todas las operaciones indicadas y los términos ya no
pueden reducirse. Ejemplos de ecuaciones cuadráticas en su forma general son:
•
x
2
– 6
x
– 7 = 0
•
x
2
– 6
x
= 0
Establezcan la forma general de la ecuación
2
x
2
+ 6(
x
+ 1) – 3
x
= 6
:
= 0
En esta sesión resolverán problemas planteando las formas generales de las ecuaciones
correspondientes.
Consideremos lo siguiente
Luis adornó el borde de un dibujo como se muestra en la figura 4. El área cubierta por el
adorno es de
252
cm
2
.
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a
este problema? Subráyala.
•
4
x
2
+ 36
x
= 252
•
4
x
2
+ 36 = 252
•
4
x
2
+ 72
x
= 252
•
4
x
2
+ 72 = 252
b) ¿Cuántos centímetros mide el ancho del adorno?
Comparen sus soluciones y comenten cómo encon-
traron el valor de
x
.
Manos a la obra
I.
A continuación se presenta una forma de resolver la ecuación correspondiente al
problema del adorno. Efectúa las siguientes actividades:
a) Establece la forma general de la ecuación.
= 0
20
cm
Figura 4
x
16
cm
x
2
x
2
+ 3
x
Es posible que algunos alumnos logren factorizar
la ecuación sin hacer la división, lo cual también
es correcto. En ese caso, pueden analizar las
diferencias entre una y otra factorización y
verificar que se obtienen los mismos valores
para
x
. Sin hacer la división, quedaría:
4
x
2
+ 72
x
= 252
4
x
2
+ 72
x
– 252 = 0
(2
x
– 6) (2
x
+ 42) = 0
x
1
= 3
x
2
= –21
Respuestas.
a) El ancho del adorno mide
3
cm porque al
resolver la ecuación se tiene que:
4
x
2
+ 72
x
= 252
4
x
2
+ 72
x
– 252 = 0
x
2
+ 18
x
– 63 = 0
(
x
– 3) (
x
+ 21) = 0
x
1
= 3
x
2
= –2
1
La solución negativa se descarta.
b) La ecuación que corresponde es
4
x
2
+ 72
x
= 252
, porque cada uno
de los
4
cuadrados de las esquinas tiene
un área de
x
2
; hay
2
rectángulos con área
16
x
y
2
con área
20
x
; sumados son
72
x
.
3
cm
4
x
2
+ 72
x
– 252