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Libro para el maestro
Propósito de la sesión.
Explorar el método de
diferencias para determinar la expresión general
cuadrática que representa una sucesión en la
que en el nivel dos de las diferencias hay una
constante diferente de cero.
La expresión general es de la forma
an
2
+
bn
+
c
, en el método de las diferencias
se plantean tres ecuaciones con las que se
encuentra el valor de
a
,
b
y
c
.
Sugerencia didáctica.
El método de las
diferencias se describe en el
Fichero de
actividades didácticas, Matemáticas
. Si tiene
acceso a él es recomendable que lo consulte,
aunque debe tomar en cuenta que las activida-
des que ahí se presentan tienen un nivel
superior al que se pide en el programa para
este apartado.
Sugerencia didáctica.
Se espera que los
alumnos calculen las diferencias de
nivel
1
y las
diferencias de nivel
2
, y que con ellas obtengan
los términos que se piden en la sucesión.
Permita que intenten encontrar la expresión
algebraica, al menos deben identificar que el
término cuadrático es
2
n
2
ya que las diferencias
de nivel
2
son iguales a
4
. Si algún alumno
obtuvo una expresión algebraica, aunque no sea
la correcta,
pídale que justifique su respuesta
(debe evaluarla para obtener los primeros
términos de la sucesión) y que explique cómo
la obtuvo.
Respuestas.
a)
193
b)
783
c)
2
n
2
–
n
+
3
.
114
SECUENCIA 21
SESIÓN 3
EL MÉTODO DE DIFERENCIAS
Para empezar
No siempre es fácil determinar la expresión general cuadrática de una sucesión, sin em-
bargo, existe un método que ayuda a obtenerla:
el método de diferencias
.
En esta sesión aprenderán a usarlo.
Consideremos lo siguiente
Dada la sucesión:
4, 9, 18, 31, …,
Si la sucesión continúa:
a) ¿Qué término ocupará el lugar
10
?
b) ¿Qué término ocupa el lugar
20
?
c) ¿Cuál es la expresión algebraica general del término enésimo de esta sucesión?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I.
Obtengan las diferencias de los niveles 1 y 2. Verifiquen si en el nivel 2 de las diferen-
cias aparece una constante diferente de cero.
a) Completen el siguiente esquema.
4,
9,
18, 31, …
Como las diferencias de nivel 2 son una constante distinta de cero, la expresión alge-
braica general del término enésimo de la sucesión es cuadrática:
a
n
2
+
b
n
+
c
, donde
n
representa el lugar del término. Para determinar los coeficientes
a
,
b
,
c
de esta
expresión se puede usar el método de las diferencias.
Propósito de la actividad.
Los alumnos van a
identificar que, con las diferencias de nivel
1
y
de nivel
2
, es posible obtener la expresión
algebraica que representa a una sucesión.
5
9
13
4
4
Sugerencia didáctica.
Pregunte a los alumnos
qué representa cada una de las literales:
n
,
a
,
b
y
c
.
Por lo que hicieron en la sesión pasada, los
alumnos ya pueden encontrar el valor de
a
.
Pregunte al grupo si saben cuál es.
(En el ejemplo,
a
es la mitad de la diferencia de
nivel
2
, es decir que
a
= 2
)