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131
Libro para el maestro
Sugerencia didáctica.
Escriba el diagrama en
el pizarrón y complételo con todo el grupo.
Comente que, como la diferencia de nivel
2
es
constante, la sucesión se genera con una
expresión de la forma
an
2
+
bn
+
c
.
Pida a dos alumnos que evalúen en
an
2
+
bn
+
c
cuando
n
=
1
y
n
=
2
, pregunte al grupo qué
términos de la sucesión se obtienen al hacer
esta evaluación (se obtiene
4
y
9
, el primer y el
segundo término de la sucesión). De ahí se
establecen las ecuaciones siguientes:
a
(1)
2
+
b
(1) +
c
= 4
a
(2)
2
+
b
(2) +
c
= 9
,
es decir que
a
+
b
+
c
= 4
4
a
+ 2
b
+
c
= 9
,
Para obtener
3
a
+
b
se restan los lados
correspondientes en las dos igualdades:
(4
a
+ 2
b
+
c
) – (
a
+
b
+
c
) = 9 – 4
Pida a los alumnos que realicen estas restas en
sus cuadernos, deben obtener
3
a
+
b
=
5
.
Este procedimiento se puede realizar con
cualquier sucesión, es por ello que se utilizan las
ecuaciones señaladas en el recuadro azul.
Comente a los alumnos que este método se
conoce como el método de las diferencias
porque se utiliza las diferencias para encontrar
la expresión que representa a la sucesión.
115
MATEMÁTICAS
III
Método de diferencias
Para determinar los coeficientes de la expresión
a
n
2
+
b
n
+
c
, hay que resolver las
ecuaciones que se obtienen al considerar que:
• El
doble del coeficiente
a
es igual a la
constante
de las
diferencias de nivel 2
.
• La suma
3
a
+
b
es igual al
primer término
de las
diferencias de nivel 1
.
• La suma
a
+
b
+
c
es igual al
primer término de la sucesión
.
Del esquema pueden obtenerse varias ecuaciones que al resolverse permiten obtener los
valores de los coeficientes
a
,
b
,
c
.
4,
9,
18, 31, …
5
a
+
b
+
c
3
a
+
b
2
a
b) Completen el esquema y resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el
método de las diferencias a esta sucesión.
2
a
=
3
a
+
b
=
5
a
+
b
+
c
=
4
a
=
b
=
c
=
c) Sustituyan los valores de
a
,
b
,
c
en la expresión
a
n
2
+
b
n
+
c
y simplifiquen eli-
minando los paréntesis.
a
n
2
+
b
n
+
c
=
(
)
n
2
+
(
)
n
+
(
)
=
d) Verifiquen si la expresión general cuadrática que obtuvieron funciona para los
cuatro primeros términos de la sucesión
4, 9, 18, 31, …
Primer término
n
= 1: (
)1
2
+(
)1+(
)
=
Segundo término
n
= 2: (
)2
2
+(
)2+(
)=
Tercer término
n
= 3:
Cuarto término
n
= 4:
Sugerencia didáctica.
Si los alumnos tienen
dificultades, puede comentarles que resuelvan
las ecuaciones en el orden en que están, de
izquierda a derecha.
En el ejemplo, con la primera ecuación se
obtiene el valor de
a
=
2
.
Se sustituye la
a
por este valor en la segunda
ecuación:
3
(
2
) +
b
=
5
, y se despeja
b
.
6 +
b
= 5
b
= 5 – 6 = –1
Se sustituye la
a
y la
b
por los valores encontra-
dos en la tercera ecuación:
2
+ (−
1
) +
c
=
4
, y se despeja
c
.
1 +
c
= 4
c
= 4 – 1 = 3
Sugerencia didáctica.
Comente con los
alumnos que, aunque en la expresión
an
2
+
bn
+
c
aparece dos veces el signo de
suma, como en este caso el valor de
b
es
negativo, en la expresión que representa a la
sucesión el término lineal se resta.
9
13
4
4
2
2
–1
3
2
–1
3
2
n
2
–
n
+ 3
2
–1
3
2 – 1 +3 = 4
2
–1
3
8 – 2 +3 = 9
(2 )3
2
+ ( –1 ) 3 + ( 3 ) = 18 – 3 + 3 = 18
( 2 )4
2
+ ( –1 ) 4 + ( 3 ) = 32 – 4 +3 = 31