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Libro para el maestro
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SECUENCIA 21
Comparen sus respuestas y comenten:
a) El número
193
pertenece a esta sucesión, ¿en qué lugar está?
b) ¿Pertenece
200
a esta sucesión?
¿Por qué?
II.
Usando el método de diferencias, encuentren la expresión general de la sucesión
1,
3, 11, 25,
…. y contesten lo que se les pide a continuación.
a) Encuentren las diferencias. Completen.
1,
3,
11, 25, …
Nivel 1
Nivel 2
b) Resuelvan las ecuaciones que se obtienen al aplicar el método de las diferencias a
esta sucesión.
2
a
=
3
a
+
b
=
a
+
b
+
c
=
a
=
b
=
c
=
c) Sustituyan por los valores de
a
,
b
,
c
en la expresión
a
n
2
+
b
n
+
c
y simplifiquen.
a
n
2
+
b
n
+
c
=
(
)
n
2
+
(
)
n
+
(
)
=
d) Verifiquen si la expresión general cuadrática que obtuvieron funciona para los
primeros términos de la sucesión
1, 3, 11, 25, ….
Comparen sus respuestas y comenten.
a) El número
185
pertenece a esta sucesión, ¿en qué lugar está?
b) ¿Pertenece
333
a esta sucesión?
¿Por qué?
Para saber cómo se obtienen las expresiones
2
a
,
3
a
+
b
y
a
+
b
+
c
, observen el pro-
grama
El método de diferencias
.
Posibles procedimientos.
Los alumnos pueden
continuar la sucesión hasta acercarse al número
193
y al
200
para determinar si pertenecen o
no a la sucesión.
Otro procedimiento consiste en evaluar valores
para
n
en la expresión
2
n
2
−
n
+
3
para obtener
los términos de la sucesión hasta acercarse al
200
. Por ejemplo para
n
= 10
se obtiene:
(
2
)
10
2
+ ( −
1
)
10
+ (
3
) =
200
−
10
+
3
=
193
Para
n
=
11
se obtiene:
(
2
)
11
2
+ ( −
1
)
11
+ (
3
) =
242
−
11
+
3
=
234
Por lo tanto
193
si pertenece a la secuencia
pero
200
no.
Otro procedimiento, más complejo pero más
efectivo, consiste en resolver la ecuación
cuadrática,
2
n
2
−
n
+
3
=
193
y ver si tiene
alguna solución entera positiva.
Si tiene solución entera positiva el
193
pertenece a la sucesión, en caso contrario no
pertenece a la sucesión.
Para ello se utiliza la fórmula general para
resolver la ecuación
2
n
2
−
n
−
190
=
0
n
=
1 1 + 1520
4
n
=
1 39
4
Las dos soluciones son
n
= 10
n
= –9.5
Entonces la ecuación tiene una solución entera
positiva
n
= 10
, por lo que el
193
es el décimo
término en la sucesión.
Sugerencia didáctica.
Es importante que los
alumnos realicen la verificación, porque esto les
da un procedimiento para validar su respuesta.
2
8
14
6
6
6
2
1
3
–7
5
3
–7
5
3
n
2
– 7
n
+ 5
Sugerencia didáctica.
Si los alumnos ya han
comprendido como contestar estas preguntas,
aproveche este momento para pedirles que las
respondan con un procedimiento distinto al que
usaron en la actividad anterior. En particular
puede pedirles que utilicen la fórmula general, si
es que no lo hicieron antes.
Respuestas.
El número
185
sí pertenece a la
sucesión,
333
no.
Propósito del programa 40.
Mostrar el
método de diferencias y utilizarlo para obtener
la expresión general del enésimo término de una
sucesión.
Se transmite por la red satelital Edusat.
Consultar la cartelera para saber horario y días
de transmisión.