Practica esta lección:
Ir al examen
139
Libro para el maestro
123
MATEMÁTICAS
III
A lo que llegamos
En todo triángulo rectángulo, si
a
y
b
son las medidas de los catetos y
c
la medida de
la hipotenusa se cumple que:
a
2
+
b
2
=
c
2
Es decir, el área del cuadrado de lado
c
(hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de
los cuadrados del lado
a
y lado
b
(catetos).
A esta propiedad de los triángulos rectángulos se le llama el
teorema de Pitágoras
.
Para analizar más ejemplos con demostraciones de este teorema, pueden ver el programa
Algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras
.
Lo que aprendimos
En tu cuaderno, construye cuatro triángulos rectángulos iguales entre sí y acomódalos
como se indica en la figura (
a
es la medida del cateto menor,
b
la del mayor y
c
la de la
hipotenusa):
c
b
a
a) ¿El cuadrilátero que forman las hipotenusas de los cuatro triángulos rectángulos es
un cuadrado?
. ¿Qué razones darías para asegurarlo?
b) ¿El cuadrilátero que se forma en el interior de la figura es también un cuadrado?
. ¿Por qué?
¿Cuánto mide por lado ese cuadrado?
c) ¿Cuál es la suma de las áreas de las cinco figuras que forman el cuadrado que tiene
por lado a
la hipotenusa
c
?
d) ¿Cómo podrían verificar que el área del cuadrado grande
c
2
es igual a
a
2
+
b
2
?
Sugerencia didáctica.
Dibuje en el pizarrón
una figura parecida a la del paso 2 de la
actividad anterior. Indique la medida de los
catetos con las letras
a
y
b
y la medida de la
hipotenusa con la letra
c
. Pregunte a los
alumnos cuál es el área de cada uno de los
cuadrados.
Si lo considera conveniente, pida a los alumnos
que investiguen sobre la historia del teorema de
Pitágoras.
Propósito de la actividad.
Los alumnos van a
realizar otra justificación geométrica para el
teorema de Pitágoras.
Sugerencia didáctica.
Pida a los alumnos que
justifiquen sus respuestas con base en
argumentos geométricos y que no den
respuestas como “sí son cuadrados porque así
quedan” o “con las figuras se forma un
cuadrado”.
Respuestas.
a) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo
recto, por lo que la suma de los otros dos
ángulos es de
90°
. En las esquinas del
cuadrilátero grande se está juntando esos
dos ángulos, entonces todos los ángulos del
cuadrilátero son rectos. Además todos los
lados miden lo mismo, ya que se forman con
la hipotenusa de los triángulos.
b) Cada ángulo del cuadrilátero interior es suple-
mentario al ángulo recto de los triángulos, por
lo que todos los ángulos del cuadrilátero
interior son rectos. Cada lado de este
cuadrilátero mide
b
–
a
, por lo que todos sus
lados miden lo mismo.
c) El área de cada triángulo es
ab
2
, el área del
cuadrilátero interior es
(
b
–
a
)
2
. Es decir que
la suma es igual a
4
(
ab
2
)
+ (
b
–
a
)
2
Al desarrollar la suma de las áreas de las
cinco figuras se obtiene:
4
(
ab
2
)
+ (
b
–
a
)
2
= 2
ab
+
b
2
– 2
ab
+
a
2
=
b
2
+
a
2
d) El cuadrado grande está formado por las
cinco figuras, como la suma de las áreas de
las cinco figuras es
a
2
+
b
2
, entonces
c
2
=
a
2
+
b
2
.
Propósito del programa 41.
Presentar
diferentes demostraciones
del teorema de
Pitágoras.
Se transmite por la red satelital Edusat.
Consultar la cartelera para saber horario y días
de transmisión.