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Propósito de la actividad.
Es
importante que los alumnos concluyan
que entre mayor sea el número de
lados del polígono inscrito:
a) Su área es más cercana al área del
círculo.
b) La apotema coincide con el radio
del círculo.
c) Por lo tanto, si sustituimos los
datos en la fórmula del área de
un polígono y se hacen algunas
simplificaciones, tenemos que el
área del círculo se puede calcular
como si fuera un polígono regular:
Área del círculo =
π
× radio × radio
Respuestas.
a)
El perímetro del polígono se
acerca más al perímetro de la
circunferencia. Haga notar a los
alumnos que mientras más lados
tenga el polígono su perímetro será
mayor.
b)
La longitud del apotema se acerca
más a la longitud del radio.
También, mientras más lados
tenga el polígono, su apotema será
mayor. Recuerde a los alumnos
que la apotema va del centro del
polígono al punto medio de uno
de los lados.
c)
Área =
perímetro × apotema
2
d)
π
por diámetro.
e)
28.26
cm
2
Es posible que no todos los alumnos
puedan elaborar conclusiones a
partir de las preguntas anteriores; no
obstante, es importante que intenten
establecer relaciones y elaborar
argumentos. Si tienen dificultades
no se preocupe, este procedimiento
se detalla en el apartado
A lo que
llegamos
. Una forma de establecer
relaciones entre las preguntas
anteriores, es la siguiente:
-
Cuando aumenta el número de
lados del polígono, su área se
parece más a la del círculo y la
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SECUENCIA 30
Con ayuda del profesor, comenten con sus compañeros:
a) ¿Qué pasa con el perímetro del polígono y el perímetro de la circunferencia cuando
aumenta el número de lados del polígono regular?
b) ¿Qué pasa con la apotema del polígono regular y el radio de la circunferencia cuando
aumenta el número de lados del polígono regular?
c) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono regular?
d) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro del círculo?
e) Calcula el área del círculo usando la discusión anterior. El área del círculo es:
Recuerda que: Apotema se le llama a la altura de los triángulos iguales en los que se
divide un polígono regular.
Observaste que el área de un círculo puede ser aproximada con la fórmula del área de
un polígono regular.
Área de un polígono regular =
perímetro × apotema
2
Como el perímetro del círculo es
por diámetro y la apotema, cuando el número de
lados aumenta, coincide con el radio, entonces:
Área de un círculo =
× diámetro × radio
2
Y como el diámetro es 2 veces el radio: área de un círculo =
×
2
× radio × radio
2
Simplificando: Área del círculo =
× radio × radio
Si se llama
A
al área y
r
al radio, entonces puede escribirse:
A
=
r
2
Vean el video
Área del círculo
y, al término del mismo, en su cuaderno dibujen un
círculo cuyo diámetro mida
15
cm y realicen el procedimiento mostrado en el video.
A lo que llegamos
3
cm
3.6
cm
3.4
cm
5
cm
Apotema
apotema se parece más al radio.
El área del polígono es:
Área =
perímetro × apotema
2
-
En el caso del círculo, el perímetro
es igual a
π
× diámetro, o
π
×
2
veces el radio, o
2
π
× radio.
(las
tres fórmulas son equivalentes).
-
Entonces,
perímetro × apotema
=
2
2
π
× radio × radio
=
π
× radio
× radio
2
Sugerencia didáctica.
Comente
con los alumnos esta información y
posteriormente pídales que vuelvan
al problema inicial del apartado
Consideremos lo siguiente
y que
verifiquen, aplicando la fórmula, el
área del círculo.
Propósito del video.
Mostrar la
obtención de la fórmula del área del
círculo mediante una aproximación
por triangulaciones.