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SECUENCIA 4
SESIÓN 3
PROBEMOS QUE UNO DE LOS ÁNGULOS
ES LA MITAD DEL OTRO
Para empezar
En la sesión 2 se afirmó que
cuando un ángulo inscrito y uno central subienden el mismo
arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo
, a partir de comprobar
que la relación se cumplía en varios ejemplos. Sin embargo, aunque la relación se cumple
en los ejemplos vistos no se puede garantizar que se cumpla siempre. En esta sesión
probarás que esta relación se cumple para cualquier pareja de ángulos central e inscrito
que subtiendan el mismo arco.
Un ángulo inscrito y un ángulo central que subtienden el mismo arco pueden correspon-
der a tres casos diferentes:
O
V
B
A
O
U
C
D
O
W
E
F
Caso I
Caso II
Caso III
Comenten en qué se distingue cada caso.
Manos a la obra
I.
Caso I.
Observa que
VB
, además de ser un lado del ángulo inscrito, es un diámetro
de la circunferencia. Otra característica es que el lado
OB
está sobre el lado
VB
.
Elije una de las opciones para completar el siguiente texto y justifica tu elección.
El
BOA
es un ángulo
. El
BVA
es un ángulo
.
(central / inscrito)
(central / inscrito)
El
VOA
es
porque
(isósceles / equilátero)
de ahí que los ángulos
y
sean iguales.
AOV
+
BOA
=
porque
(
90°
/
180°
)
AOV
+
OVA
+
VAO
=
porque
(
180°
/
360°
)
Comparando las dos igualdades anteriores se observa que
BOA
=
(
AOV
+
OVA
/
OVA
+
VAO
)
ya que
AOV
+
BOA
=
AOV
+
OVA
+
VAO
porque
.
De esta igualdad se obtiene que el
BOA
es
del
BVA
.
(el doble / la mitad)
Lo que se puede escribir como: La medida del ángulo central
BOA
es el doble de la
medida del ángulo
BVA
.
O
V
B
A
Caso I