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Libro para el maestro
Propósito de la sesión.
Los alumnos justifica-
rán formalmente la relación que encontraron
entre las medidas de los ángulos central e
inscrito que subtienden el mismo arco.
Propósito del programa.
Demostrar que para
cualesquiera
dos ángulos, central e inscrito, que
subtienden el mismo arco, la medida del primero
es el doble de la medida del segundo.
Se transmite por la red satelital Edusat.
Consultar la cartelera para saber horario y días
de transmisión.
Propósito del interactivo.
Descubrir mediante
mediciones en una figura dinámica que:
Todos los ángulos inscritos que subtienden el
mismo arco tienen la misma medida.
La medida de un ángulo inscrito es la mitad
de la medida de un ángulo central cuando
subtienden el mismo arco.
Sugerencia didáctica.
Si lo considera
pertinente, pida a algunos alumnos que pasen
al pizarrón a dibujar ejemplos de cada uno de
los casos presentados, para otros ángulos
centrales. Pregunte al grupo si están de acuerdo
en que son todos los casos posibles. En
particular, algún alumno podría mencionar que
hace falta el caso en el que la medida del ángulo
central es mayor o igual que 180°. Este caso
está incluido en el
caso II
, lo cual lo puede
analizar con el grupo al final de la sesión.
Comente a los alumnos que lo que se va a hacer
en la sesión es justificar que, en todos los casos,
el ángulo central mide el doble que el ángulo
inscrito y, por lo tanto, el ángulo inscrito mide la
mitad del ángulo central.
Sugerencia didáctica.
Comete a los alumnos
que este dibujo representa a todos los ángulos
inscritos y centrales que están el
caso I
.
•
•
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SECUENCIA 4
SESIÓN 3
PROBEMOS QUE UNO DE LOS ÁNGULOS
ES LA MITAD DEL OTRO
Para empezar
En la sesión 2 se afirmó que
cuando un ángulo inscrito y uno central subienden el mismo
arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo
, a partir de comprobar
que la relación se cumplía en varios ejemplos. Sin embargo, aunque la relación se cumple
en los ejemplos vistos no se puede garantizar que se cumpla siempre. En esta sesión
probarás que esta relación se cumple para cualquier pareja de ángulos central e inscrito
que subtiendan el mismo arco.
Un ángulo inscrito y un ángulo central que subtienden el mismo arco pueden correspon-
der a tres casos diferentes:
O
V
B
A
O
U
C
D
O
W
E
F
Caso I
Caso II
Caso III
Comenten en qué se distingue cada caso.
Manos a la obra
I.
Caso I.
Observa que
VB
, además de ser un lado del ángulo inscrito, es un diámetro
de la circunferencia. Otra característica es que el lado
OB
está sobre el lado
VB
.
Elije una de las opciones para completar el siguiente texto y justifica tu elección.
El
BOA
es un ángulo
. El
BVA
es un ángulo
.
(central / inscrito)
(central / inscrito)
El
VOA
es
porque
(isósceles / equilátero)
de ahí que los ángulos
y
sean iguales.
AOV
+
BOA
=
porque
(
90°
/
180°
)
AOV
+
OVA
+
VAO
=
porque
(
180°
/
360°
)
Comparando las dos igualdades anteriores se observa que
BOA
=
(
AOV
+
OVA
/
OVA
+
VAO
)
ya que
AOV
+
BOA
=
AOV
+
OVA
+
VAO
porque
.
De esta igualdad se obtiene que el
BOA
es
del
BVA
.
(el doble / la mitad)
Lo que se puede escribir como: La medida del ángulo central
BOA
es el doble de la
medida del ángulo
BVA
.
O
V
B
A
Caso I
central
inscrito
isósceles
tiene dos lados iguales
OVA
VAO
180°
son suplementarios
180°
son los ángulos interiores de un triángulo
OVA +
VAO
son iguales a
180°
el doble
El procedimiento que se va a seguir consiste en
identificar que el triángulo
VOA
es isósceles,
debido a que dos de sus lados son radios de la
circunferencia. Entonces los ángulos iguales del
triángulo son
OVA
=
VAO
.
Además hay dos ángulos que suman
180°
.
AOV
+
BOA
=
180°
(forman un ángulo
llano alrededor de O).
Por la suma de los ángulos interiores del
triángulo isósceles se sabe que:
AOV
+
OVA
+
VAO
=
180°
.
Entonces, como las dos expresiones son iguales
a
180°
:
AOV
+
BOA
=
AOV
+
OVA
+
VAO
Se resta
AOV
de ambos lados:
BOA
=
OVA
+
VAO
.
Y como
OVA
=
VAO
, entonces:
BOA
=
2
OVA
.
Pero como
OVA
es el mismo ángulo que
BVA
, se obtiene la conclusión de que:
BOA
=
2
BVA
, y entonces
BVA
es la mitad
del
BOA
.
Es decir que el ángulo inscrito es la mitad del
ángulo central.
Posibles dificultades.
Si observa que los
alumnos tienen dificultades para establecer esta
relación escriba la igualdad
AOV
+
BOA
=
AOV
+
OVA
+
VAO
en el pizarrón y pregúnteles qué ocurre si se
resta
AOV
en ambos lados.