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Libro para el maestro
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MATEMÁTICAS
III
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Para completar el texto fue importante tomar en cuenta que uno de los lados del
ángulo inscrito es también diámetro de la circunferencia y que un lado del ángulo
central también está sobre el diámetro? ¿Por qué?
II.
Caso II.
Se observa que ninguno de los lados del ángulo inscrito es diá-
metro de la circunferencia, por esta razón se debe dar una justificación
de que en este caso también se cumple la relación entre las medidas de
los ángulos inscrito y central que subtienden el mismo arco.
Traza el diámetro determinado por
OU
y denota el otro extremo del diá-
metro con
X
.
a) El diámetro
UX
dividió a los ángulos dados en dos ángulos cada uno.
Expresa cada ángulo señalado como suma de los ángulos que for-
maste al trazar
UX
.
DOC
=
DUC
=
b) Observa que al trazar el diámetro
UX
de la pareja de ángulos del caso II, se forma-
ron dos parejas de ángulos como la del caso I. Utiliza el resultado obtenido en el
caso I para responder:
¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos
XUC
y
XOC
?
¿Qué relación hay entre las medidas de los ángulos
DUX
y
DOX
?
c) Utiliza tus respuestas al inciso anterior y formula una justificación de que la me-
dida del
DUC
es la mitad de la medida del
DOC
?
Comparen sus justificaciones.
III.
Da una justificación de que para el
caso III
también se cumple la rela-
ción entre las medidas de un ángulo inscrito y uno central que subtien-
den el mismo arco.
Traza el diámetro determinado por
WO
y denota el otro extremo del diá-
metro con
Y
. Al trazar
WY
, se identifican dos nuevas parejas de ángulos
que, cada una, satisface el caso I
a) La primera pareja consta de los ángulos
FWY
y
FOY
, la segunda de los
ángulos
EWY
y
EOY
.
Expresa cada ángulo original como la diferencia de dos de los nuevos.
FWE
=
FOE
=
O
U
C
D
Caso II
O
W
E
F
Caso III
Respuesta.
Esto fue importante porque de esta
manera se sabe que
AOV
y
BOA
son
suplementarios.
Sugerencia didáctica.
Pregunte a los alumnos
por qué esta justificación es válida para
cualesquiera ángulos inscrito y central que estén
en el
caso I
.
Sugerencia didáctica.
Comete a los alumnos
que este dibujo representa a todos los ángulos
inscritos y centrales que están en el
caso II
.
El procedimiento que se sigue consiste en trazar
el diámetro determinado por
OU
. De esta
manera el ángulo central
DOC
queda dividido
en dos ángulos centrales,
XOC
y
DOX
y el
ángulo inscrito
DUC
queda dividido en dos
ángulos inscritos,
XUC
y
DUX
. Se obtienen
dos parejas de ángulos central e inscrito que
están en el
caso I
,
XOC
y
XUC
,
DOX
y
DUX
, para las que se utiliza la relación que se
justificó en la actividad anterior.
XOC
= 2
XUC
DOX
= 2
DUX
.
Sugerencia didáctica.
Pida a los alumnos que
escriban las dos parejas de ángulos que están en
el
caso I
.
Sugerencia didáctica.
Comete a los alumnos
que este dibujo representa a todos los ángulos
inscritos y centrales que están en el
caso III
.
DOX +
XOC
DUX +
XUC
XOC =
2
XUC
DOX =
2
DUX
DOC =
DOX +
XOC
=
2
DUX +
2
XUC
=
2
(
DUX +
XUC)
=
2
DUC
FWY –
EWY
FOY –
EOY
El procedimiento que se sigue consiste en trazar
el diámetro determinado por
WO
. De esta
manera se obtienen dos parejas de ángulos
central e inscrito que están en el
caso I
,
FOY
y
FWY
,
EOY
y
EWY
, para las que se utiliza
la relación que se justificó en la actividad I.
FOY
= 2
FWY
EOY
= 2
EWY
.
El ángulo central mayor (
FOY
) y el ángulo
inscrito mayor (
FWY
) pueden expresarse como
suma de otros dos ángulos:
FWY
=
FWE
+
EWY
FOY
=
FOE
+
EOY
Con estas igualdades se establece la expresión
de los ángulos señalados como resta de los
ángulos nuevos.