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Libro para el maestro
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SECUENCIA 18
Consideremos lo siguiente
Un gas ejerce una presión de
100
Pa en un recipiente que tiene un volumen de
200
m
3
.
a) Al jalar el émbolo, se puede aumentar el volumen del gas a
400
m
3
. Según la ley de
Boyle, ¿cuánto deberá valer la presión ahora?
Pa.
b) Y si se redujera el volumen a
100
m
3
, ¿cuánto valdría la presión?
Pa.
c) ¿Cuál de las siguientes gráficas creen que describe mejor la relación entre el volumen
y la presión? Márquenla.
Volumen
Presión
Volumen
Presión
Volumen
Presión
Volumen
Presión
a)
b)
c)
d)
Comparen sus respuestas y comenten.
Manos a la obra
I.
Completen la siguiente tabla .
Volumen
(
m
3
)
50
100
200
300
400
500
Presión
(Pa)
100
Volumen × Presión
(
m
3
× Pa)
20 000
Denoten con la letra
x
el volumen que ocupa el gas (medido en m
3
) y con la letra
y
la
presión (medida en Pa) ejercida por el gas. Ahora realicen lo siguiente.
a) Completen la expresión para el producto del volumen y la presión.
xy
=
b) Usen la expresión anterior para escribir otra que sirva para calcular
y
a partir de
x
.
y
=
Respuestas.
a) Vale
50
Pa porque si el volumen aumentó al
doble (
400
m
3
), la presión será la mitad.
b)
200
Pa porque al reducir el volumen a la
mitad (
100
m
3
), la presión aumenta al doble.
c) La
gráfica a)
no es correcta porque
representa una relación lineal con pendiente
negativa.
La
gráfica b)
es correcta porque es una
hipérbola.
La
gráfica c)
también se ve como una
hipérbola pero no es correcta porque no
puede haber valores iguales a cero (ni la
presión ni el volumen pueden valer cero).
La
gráfica d)
tampoco es correcta porque no
representa una situación en la que el al
aumentar al doble una de las magnitudes la
otra disminuya a la mitad.
Posibles dificultades.
Si a los alumnos se les
hace complicado elegir la gráfica correcta,
sugiérales que hagan en su cuaderno una gráfica
con los puntos que ya conocen (
100
,
200
),
(
200
,
100
) y (
400
,
50
). Deben unirlos con una
curva, no con segmentos de recta.
Observarán que la gráfica se parece a las de los
incisos b) y c). El b) se descarta porque en la
situación de la presión del gas ninguna de las
magnitudes puede ser cero.
Para solucionar esto, sugiera a los estudiantes
que intenten con un valor más cercano al cocien-
te, como 6
6.66
, con el que se obtiene
19 998
;
y que observen que entre mejor sea la
aproximación al cociente más se parecerá el
resultado a
20 000
. Más aun, podría explicarse
que el
20 000
es el resultado exacto pues al
poner todas las operaciones juntas se obtiene
300 × (200 ÷ 3)
que es lo mismo que
(300 ÷ 3) × 200
.
Respuestas.
a)
xy
= 20 000
b)
y
=
20 000
x
En una relación de proporcionalidad inversa,
los productos son constantes, por eso en todas
las columnas al multiplicar
x
(el volumen) por
y
(la presión) se obtiene
20 000
. Este número
es una constante.
Para hallar cualquier valor de
y
hay que dividir
esta constante (
k
) entre
x
, es decir,
y
=
k
x
.
Posibles dificultades.
En esta columna puede
haber un error de redondeo debido a lo
siguiente. Los alumnos pueden encontrar la
respuesta dividiendo
20 000
÷
300
o bien,
fijándose en que cuando el volumen es
100
m
3
,
la presión es
200
Pa; si aumenta tres veces el
volumen (
300
m
3
), la presión debe disminuir a
una tercera parte, es decir,
200
÷
3
.
Efectuando cualquiera de las divisiones, se
obtiene
66.666
… que es un número con
infinitos dígitos después del punto decimal.
Dejar
66.6
como respuesta arrojaría
19 980
al
multiplicar el volumen por la presión, y no
20 000
como en los demás casos.
400
200
66.6
50
40
20 000 20 000
20 000 20 000 20 000