Practica esta lección:
Ir al examen
81
Libro para el maestro
65
MATEMÁTICAS
III
LA CAJA
Para empezar
En una empresa fabrican cajas de metal. Las cajas se construyen a partir de una lámina
rectangular de
3
m de largo por
2
m de ancho, a la que le cortan cuatro cuadrados de
las esquinas. Después, se dobla la lámina restante para formar una caja rectangular y,
por último, se sueldan las orillas.
Los fabricantes no saben de qué tamaño cortar los cuadrados para que el volumen sea lo
más grande posible. Por ello en la figura se ha marcado con la letra
x
la medida en me-
tros de los lados de los cuadrados que se cortan.
En esta sesión encontraremos el valor de
x
para
maximizar el volumen
de la caja, es
decir, para que su volumen sea lo más grande posible.
Manos a la obra
I.
Anoten en los recuadros de la siguiente figura las ex-
presiones algebraicas que representan las medidas fal-
tantes.
a) Una vez cortados los cuadrados y armada la caja, la
altura de la caja será
x
. ¿Cuáles serán las expresiones
que representen a las otras dos medidas de la caja?
Ancho
=
Largo
=
b) Denoten con la letra
y
el volumen de la caja (en metros cúbicos). Escriban una
expresión que sirva para obtener
y
a partir de
x
.
y
=
Comparen sus respuestas y comenten cómo obtuvieron sus expresiones algebraicas.
SESIÓN 3
2
m
3
m
x
x
x
3
m
x
2
m
x
Propósito de la sesión.
Encontrar el mínimo de
una relación mediante el método gráfico y
compararlo con el algebraico.
Propósito de la actividad.
En esta secuencia el
problema se tendrá que ir resolviendo por partes
hasta obtener la respuesta.
El alumno utilizará e integrará diferentes
conceptos que ha aprendido a lo largo de la
secundaria: relación, expresión algebraica y
gráfica asociada a un fenómeno.
Además, para fomentar el intercambio de ideas,
todas las actividades están diseñadas en parejas.
Sugerencia didáctica.
Para encontrar las
medidas faltantes lo más fácil será llenar
primero los valores que corresponden a
x
,
o sea, la medida del lado del cuadrado que se
recorta en cada esquina. Las medidas del largo
y ancho de la lámina se obtienen restando lo
que mide el lado del cuadrado, o sea,
x
. Por
ejemplo, un lado de la lámina mide
2
m y se le
cortaron dos cuadrados de lado
x
, por lo que
debe restar
2
−
2
x
.
Si los alumnos tienen dificultades para hallar
estas medidas, ayúdelos con la medida del lado
del cuadrado.
Respuesta.
Para escribir la expresión los
alumnos deben recordar que el volumen de un
prisma rectangular se obtiene multiplicando la
medida del largo de la base, por el ancho y por
la altura. De modo algebraico, consiste en
encontrar una expresión que denote el producto
de las tres expresiones
2
–
2
x
,
3
–
2
x
y
x .
Sugerencia didáctica.
Escriba en el pizarrón
las distintas expresiones que los alumnos
obtengan y compárenlas.
Los alumnos pueden escribir expresiones en las
que no realicen operaciones algebraicas, como
x
(2 – 2
x
) (3 – 2
x
)
. Algunos estudiantes
podrían realizar más operaciones algebraicas
como la distribución, con la intención de hacer
algo más que un producto indicado. En este
momento de la sesión no es necesario que lo
hagan, con dejar los paréntesis es suficiente
porque más adelante tendrán la oportunidad de
desarrollar el producto.
2 – 2
x
3 – 2
x
x
x
2 – 2
x
3 – 2
x