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Libro para el maestro
Respuestas.
d) Si
x
es la distancia a la que se encuentra el
proyector, y
y
el área de la imagen, entonces
la expresión sería
y
=
0.25
x
2
.
e)
0.49
m
2
Posibles respuestas para la pregunta d)
. La
expresión
y
=
0.25
x
2
puede escribirse de otras
maneras, como:
y
= (
0.5
x
)
2
y
= (
0.5
x
) (
0.5
x
)
y
=
(
x
2
)
2
y
=
x
2
4
Posibles dificultades.
Quizá los alumnos
escriban
y
=
0.5
x
para expresar la relación
entre la distancia del proyector y el área de la
imagen, pero sería erróneo. La expresión en
realidad sirve para hallar el lado del cuadrado
de la imagen
(
y
)
conociendo la distancia a la
que se encuentra el proyector
(
x
)
.
Otro posible fuente de error ocurre cuando al
querer denotar la operación “multiplicar 0.5 por
x
y el resultado elevarlo al cuadrado”, escriben
y
= 0.5
x
2
. La jerarquía de operaciones prioriza
la exponenciación sobre la multiplicación, por lo
que primero debe elevarse
x
al cuadrado, y
luego multiplicarse por
0.5
. Si se le agregan
paréntesis, la expresión es correcta:
y
= (0.5
x
)
2
.
Sugerencia didáctica.
Si los alumnos escriben
distintas expresiones correctas, pídales que
pasen al pizarrón a explicarlas y que las
comparen. Si encuentran una sola forma correcta
de escribir la expresión, o si no logran escribir
ninguna, permítales avanzar en la sesión, más
adelante podrán retomarlas y hacer correcciones.
Sugerencia didáctica.
Aunque algunos de los
estudiantes no hayan logrado escribir una
expresión correcta, es importante que se cercioren
de que la que escribieron en realidad denote las
operaciones que quieren hacer. Es decir, deben
estar seguros de que no han cometido errores
como olvidar la jerarquía de operaciones.
Para hacer esta verificación, pídales a todos que
escriban sus expresiones en el pizarrón. Descarte
las repetidas, y para todas las demás, digan
cuánto vale
y
si
x
es igual a
1
,
2
y
4
, por ejemplo.
Lo importante en este punto no es decir quién
escribió una expresión correcta, sino corregir
errores algebraicos.
Sugerencia didáctica.
Para analizar la relación
que existe entre la distancia a la que se coloca
el proyector y el tamaño de la imagen, diga a los
alumnos que observen la tabla que llenaron en
el apartado
Manos a la obra
. Cuando
x
vale
1
,
y
vale
0.25
. Si la relación fuera de proporciona-
lidad directa, se esperaría que cuando
x
vale el
doble (
2
)
y
valiera el doble (
0.5
), pero esto no
ocurre. Analicen varios casos para que quede
claro que la relación no es de proporcionalidad
directa.
13
III
MATEMÁTICAS
d) Escribe una expresión que sirva para calcular el área de la imagen proyectada a partir
de la distancia a la que se encuentra el proyector.
Ayúdate de la expresión anterior para contestar la siguiente pregunta:
e) Si el proyector se colocara a
1.4
m de distancia, ¿cuál sería el área del cuadrado?
m
2
.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Manos a la obra
I.
Completen la siguiente tabla.
Distancia
del proyector
a la pantalla
(m)
Longitud del
lado del cuadrado
proyectado
(m)
Área del
cuadrado
proyectado
(m
2
)
0.5
1.0
0.5
0.25
1.5
2.0
2.5
3.0
II.
Contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Qué operación hay que hacer para completar la segunda columna a partir de la
primera?
b) Si se denota con la letra
x
a la distancia entre el proyector y la pantalla, ¿cuál es
la expresión que representa la longitud del lado del cuadrado?
Lado
=
c) ¿Qué operación hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la
segunda?
d) ¿Qué operaciones hay que hacer para completar la tercera columna a partir de la
primera?
e) Si denotamos con la letra
y
el área de la imagen proyectada, ¿cuál es la expresión
que relaciona
y
con
x
?
y
=
Comparen sus respuestas y comenten si la relación entre la
x
y la
y
es de proporciona-
lidad directa.
0.25
0.625
0.75
0.5625
1
1
1.25
1.5625
1.5
2.25
Respuestas.
a) Dividir entre
2
o multiplicar por
0.5
b) Lado =
0.5
x
, también podría
escribirse Lado =
x
2
c) Elevar al cuadrado.
d) Dividir entre dos y después elevar al
cuadrado, o bien, multiplicar por
0.5
y
después elevar al cuadrado.
e)
y
= (
0.5
x
)
2
y
=
(
x
2
)
2
o alguna otra equivalente.
Sugerencia didáctica.
Diga a los alumnos que
revisen la expresión que escribieron en el
apartado
Consideremos lo siguiente
y que hagan
correcciones si fuera necesario.
Este puede ser también un buen momento para
que les plantee expresiones equivalentes a
y
= (0.5
x
)
2
como:
y
=
0.25
x
2
y
= (
0.5
x
) (
0.5
x
)
y
=
(
x
2
)
2
y
=
x
2
4
Utilicen cada expresión para obtener el valor de
y
asignando tres o cuatro valores a
x
y
compárenlas. Se espera que logren decir cosas
como:
Es lo mismo escribir
(0.5
x
)
2
que (
0.5
x
)
(0.5
x
), y si se efectúa esa multiplicación,
se obtiene otra de las expresiones de la lista
0.25
x
2
.
Es lo mismo (
0.5
x
)
2
que
(
x
2
)
2
porque da igual
multiplicar por
0.5
que dividir entre
2
.
La expresión
x
2
2
es equivalente a
0.25
x
2
porque da lo mismo dividir entre
4
que
multiplicar por
0.25
.
Cuando terminen de comparar las expresio-
nes, plantéeles como reto que escriban otra
que sea equivalente a las anteriores.
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