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Libro para el maestro
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SECUENCIA 15
Discutan las ventajas y desventajas de los siguientes procedimientos para resolver
una ecuación de segundo grado.
Usando operaciones inversas o procedimientos aritméticos.
Factorización.
Fórmula general.
Lo que aprendimos
Resuelve las siguientes ecuaciones usando la fórmula general. Verifica las soluciones en
tu cuaderno.
1.
4
x
2
+ 4
x
= –1
a
=
b
=
c
=
a) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
b) ¿Cuál es el valor de
b
2
− 4
ac
?
2.
2
x
2
+ 8
x
– 4.5 = 0
a
=
b
=
c
=
3.
5
x
2
− 20 = 0
a
=
b
=
c
=
•
•
•
Sugerencia didáctica.
Los alumnos pueden
tener distintas opiniones, lo importante es que
comenten que hay métodos más económicos
para resolver algunas ecuaciones (como las
operaciones inversas), pero hay casos en los que
no es posible utilizarlos y hay que emplear otros.
Entonces:
Si una ecuación puede resolverse fácilmente
usando operaciones inversas o procedimien-
tos personales, proceder de esa forma.
En caso contrario, igualarla a cero y factorizar.
Si tampoco es fácil factorizar, usar la fórmula
general.
Posibles dificultades.
Comente con los
alumnos la importancia de poner el signo
correcto de los coeficientes y el término
independiente al utilizar la fórmula general.
En este caso, el término independiente debe
tener signo negativo, porque para usar la
fórmula la ecuación debe escribirse en su forma
general.
Quedaría
4
x
2
+
4
x
+
1
=
0
Respuestas.
a) Como
4
x
2
+
4
x
+
1
es un trinomio cuadrado
perfecto, se puede factorizar así (
2
x
+ 1)
2
.
Si
(2
x
+ 1)
2
= 0
, al sacar la raíz cuadrada se
obtiene
2
x
+ 1 = 0
, por lo tanto,
x
= –
1
2
.
b) Es cero.
•
•
•
Sugerencia didáctica.
Haga notar a los
alumnos que esta ecuación ya está escrita en su
forma general, por lo que los signos deben
quedar iguales en la fórmula.
Posibles dificultades.
Como la ecuación es
incompleta los alumnos podrían confundirse y
creer que –
20
corresponde al parámetro
b
.
Hágales ver que –
20
es el término independien-
te (o sea, c en la fórmula), y que el coeficiente
b
puede pensarse como
0
x
. Es decir, que la
ecuación podría escribirse así:
5
x
2
+
0
x
–
20
=
0
, por lo que
a
=
5
,
b
=
0
y
c
= –
20
.
4
4
1
x
=
−(
8
)
(
8
)
2
– 4(
2
)(
–4.5
)
2(
2
)
=
−8
64 + 36
4
=
−8
100
4
=
−8
10
4
x
1
=
−8 +10
4
=
2
4
= 0.5
x
2
=
−8 –10
4
=
–18
4
= –4.5
2
8
–4.5
5
0
–20
x
=
−(
4
)
(
4
)
2
– 4(
4
)(
1
)
2(
4
)
=
−4
16 – 16
8
=
−4
0
8
=
−4
0
8
x
1
=
−4 +
0
8
= –
1
2
x
2
=
−4 –
0
8
= –
1
2
x
=
−(
0
)
(
0
)
2
– 4(
5
)(
–20
)
2(
5
)
=
0
0 + 400
10
=
0
400
10
=
0
20
10
x
1
=
0 + 20
10
=
20
10
= 2
x
2
=
0 – 20
10
=
–20
10
=–2