Practica esta lección:
Ir al examen
50
Libro para el maestro
34
SECUENCIA 15
Manos a la obra
a) Escriban la ecuación
x
+ 1 =
x
2
en su forma general:
b) Usen la fórmula general para obtener las dos soluciones de la ecua-
ción. Pueden usar la calculadora para realizar las operaciones.
Comparen sus soluciones y comenten:
a) ¿Cuál de las dos soluciones de la ecuación
x
+ 1 =
x
2
no es la
razón dorada? Argumenten su respuesta.
b) ¿Por cuánto hay que multiplicar la medida del ancho para ob-
tener el largo de un rectángulo dorado?
A lo que llegamos
Es posible que, al aplicar la fórmula general de segundo grado, la raíz cuadrada
(
b
2
− 4
ac
) tenga un número infinito de cifras decimales que no siguen un patrón
o regularidad. Por ejemplo, para resolver la ecuación:
3
x
2
+ 5
x
+ 1 = 0,
usando la fórmula general se tiene:
x
=
−(5)
(5)
2
−4 (3) (1)
2 (3)
=
−(5)
13
6
Como
13
= 3.6055512
… tiene un número infinito de cifras decimales que no siguen
algún patrón o regularidad, las soluciones se pueden dejar indicadas como:
x
1
=
−(5) +
13
6
y
x
2
=
−(5) –
13
6
.
También se pueden expresar como una aproximación que tenga cierto número de cifras
decimales:
x
1
=
−(5) +
13
6
=
0.101
x
2
=
−(5) –
13
6
=
−1.101
Recuerden que:
La raíz cuadrada de
5
tiene una
infinidad de cifras decimales:
5
= 2.23606679
…
Una aproximación con
3
cifras
decimales es
5
≅
2.236
,
donde el símbolo
≅
se lee:
“es igual aproximadamente a”.
Respuesta.
a) A partir de la ecuación que obtuvieron al
aplicar los productos cruzados, quedaría:
(
x
+ 1) (1) =
x
(
x
)
x
+ 1 =
x
2
x
2
–
x
– 1 = 0
Sugerencia didáctica.
Aclare a los alumnos
que al resolver esta ecuación encontrarán
números que no tienen raíz cuadrada exacta
como
5
. A estos números que no pueden
expresarse mediante una fracción común se les
llama irracionales.
Para hacer operaciones con estos números se
puede encontrar un número decimal aproxima-
do. Por ejemplo
5
es un poco mayor que
2
.
236
pero es menor que
2
.
237
Respuestas.
La razón dorada es
1 + 5
2
el número con tres cifras decimales que más se
aproxima es
1
.
618
La otra solución se descarta porque una longitud
no puede ser negativa.
Para obtener una aproximación aceptable, se
puede multiplicar por
1
.
618
. Por ejemplo, si un
rectángulo dorado mide
10
cm de ancho. su
largo se aproxima a
16
.
18
cm.
x
=
−(–1)
(–1)
2
– 4(1)(–1)
2(1)
=
1
1 + 4
2
=
1
5
2
1
2.236
2
x
1
1 + 2.236
2
=
3.236
2
1.618
x
2
1 – 2.236
2
=
–1.236
2
–0.618