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Libro para el maestro
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SECUENCIA 14
Manos a la obra
I.
De las siguientes expresiones, ¿cuál es la que permite calcular el área
y
a partir de la
medida del frente
x
? Subráyenla.
a)
y
= 50
x
–
x
2
b)
y
= 50
x
+
x
2
c)
y
=
x
2
– 50
x
d)
y
= 50
x
2
–
x
Comparen sus respuestas, comenten cómo hicieron
para elegirla y decidan si esa expresión es equiva-
lente a la que habían contestado en el apartado
Consideremos lo siguiente
.
II.
Escriban la expresión que eligieron en la actividad
I
en la casilla correspondiente a
continuación, y después completen la tabla usando esa expresión.
x
5
10
15
20
25
30
35
40
y
=
a) Si
y
vale
625
, ¿cuál debe ser el valor de
x
?
b) ¿Puede ser
y
igual a
600
?
. ¿Por qué?
c) ¿Puede ser
y
igual a
650
?
. ¿Por qué?
Comparen sus respuestas y comenten si el valor de
y
puede ser mayor que
625
.
A lo que llegamos
Las relaciones de la forma
y
=
ax
2
+
bx
y, en particular,
y
=
ax
2
, son llamadas
relaciones cuadráticas
. Como se puede observar,
la expresión para
y
contiene
x
2
,
equis cuadrada.
Por ejemplo, las siguientes expresiones corresponden a relaciones cuadráticas:
•
y
= 50
x
–
x
2
•
y
= 50
x
+
x
2
•
y
=
x
2
– 50
x
•
y
= 50
x
2
–
x
Recuerden que:
Se dice que dos expresiones son equivalentes si dan
el mismo resultado al evaluarlas para todo valor.
Por ejemplo, al evaluar la expresión
2
x
+ 2
en
x
= 5
da como resultado
12
. Ese mismo resultado
se obtiene al evaluar la expresión
2(
x
+ 1)
en
x
= 5
. Y al evaluar esas dos expresiones en cual-
quier otro valor de
x
, darán el mismo resultado.
Por esa razón, las expresiones
2
x
+ 2
y
2(
x
+ 1)
son equivalentes.
Respuesta.
La opción a).
Posibles dificultades.
Para decidir cuál es la
expresión correcta, los alumnos podrían
comparar las
4
opciones con la que obtuvieron
en la actividad anterior. Sin embargo, esto podría
requerir de una buena habilidad algebraica si la
expresión no les quedó idéntica a la correcta.
Para evitar esta dificultad, sugiera a los alumnos
que evalúen las cuatro opciones con las medidas
de los terrenos A, B, C y D de la tabla del
apartado
Para empezar
.
Sugerencia didáctica.
Este momento puede
aprovecharse para explicar algebraicamente por
qué las diferentes expresiones presentadas como
posibles respuestas a la pregunta b) del
apartado
Consideremos lo siguiente,
son
equivalentes a la expresión
y
=
50
x
–
x
2
.
1)
x
(50
–
x
) = 50
x
–
x
2
(efectuando la multiplicación).
2)
x
(100 – 2
x
)
2
=
100
x
– 2
x
2
2
(efectuando la multiplicación).
3)
x
(100 – 2
x
)
2
=
100
x
2
–
2
x
2
2
(efectuando la multiplicación y dejando
señalada la división de cada término entre
2
) .
4)
x
(100 – 2
x
)
2
=
50
x
–
x
2
(efectuando la multiplicación y la división de
cada término entre
2
).
Propósito de la actividad.
La tabla y las
siguientes preguntas pretenden apoyar el
análisis del comportamiento de la expresión
obtenida: para cierto valor de
x
se obtiene un
área máxima, pero si se sigue aumentando
x
el
área disminuye.
Es importante que no adelante a los alumnos
esta información, permita que lo verifiquen por
sí mismos.
Respuestas.
a)
25
b) Sí es posible. Las explicaciones que den los
alumnos pueden ser muy variadas, pero se
espera que giren en torno a lo siguiente: en la
tabla es posible ver que cuando
x
vale
20
,
y
= 600
.
c) No es posible, sin embargo, para los alumnos
puede ser difícil explicar por qué. Lo importante
es que observen que al mover el valor de
x
desde casi 0 hasta
25
, el valor de
y
va
creciendo y luego se reduce. También puede
afirmarse que la ecuación
50
x
–
x
2
= 650
no tiene solución, aunque las herramientas
matemáticas necesarias para justificarlo no
están al alcance de los alumnos.
Lo que aprendan en la siguiente secuencia les
servirá para argumentar mejor esta cuestión.
Sugerencia didáctica.
Pregunte a los alumnos
por otros valores de
y
que no aparecen en la
tabla. Por ejemplo: ¿es posible que
y
=
609
?,
¿cuánto vale
x
es ese caso?
Para saber más.
Aunque con esta actividad lo
que se pretende es que los alumnos observen
qué ocurre con los valores que toma
y
cuando la
x
crece o decrece, es posible explicar por qué la
expresión
50
x
–
x
2
no puede ser mayor a
625
.
Si usted lo considera conveniente, compártala
con sus alumnos, pero no es obligatorio que la
aprendan.
y
= 50
x
–
x
2
Sumando y restando
625
se obtiene:
y
=
625
–
625
+
50
x
–
x
2
Factorizando el signo menos se obtiene la
expresión equivalente:
y
=
625
– (
625
–
50
x
+
x
2
)
La parte entre paréntesis es un trinomio
cuadrado perfecto por lo que la expresión puede
cambiarse a:
y
=
625
– (
x
–
25
)
2
En esta útlima expresión puede verse que a
625
se le está restando “algo”, y ese “algo” es un
número mayor o igual a cero (no puede ser
negativo porque está elevado al cuadrado). Esa
es la razón por la que el valor de
y
no puede ser
mayor que
625
: para cualquier valor de
x
es
cierto que (
x
– 25
)
2
0
.
Notemos lo importante de señalar que “algo”
es mayor o igual a cero, pues de ser negativo
incrementaría el valor de
y
por encima de
625
.
En una expresión como
y
=
10
–
x
no se puede
afirmar que
y
es menor que
10
, ya que
x
podría
ser igual –
1
y en tal caso
y
sería
11
.
La factorización del trinomio cuadrado perfecto
fue parte clave de este razonamiento, pues
gracias a ésta se pudo expresar
y
como la resta
de
625
menos “algo” que ciertamente es mayor
o igual a cero.
50
x
–
x
2
225
400
525
600
625
600
525
400