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Libro para el maestro
Propósito de la actividad.
Que los alumnos
escriban la expresión que describe la relación
entre la longitud del lado de la base y el área del
desarrollo plano para la caja de leche.
Posibles dificultades.
Para encontrar al menos
dos prismas que cumplan con la condición de
tener un volumen de
500
cm
3
, los alumnos
deberán percatarse de que hay una dependencia
entre la medida del lado
y la de la altura
h
. Si
lo considera necesario, indíqueles que primero
den un valor a una de las medidas: si
midiera
10
cm,
h
tendría que medir
5
cm.
También les puede ser de ayuda leer la
información del
Recuerden que
.
Respuesta.
Partiendo de la fórmula
2
h
=
500
,
los alumnos deberán despejar
h
para obtener
h
=
500
2
Posibles dificultades.
Hacer un despeje en una
fórmula puede ser difícil para los alumnos. Es
importante que ellos comprendan la mecánica
del despeje, no basta con que se aprendan una
serie de pasos.
Para ello, puede ser útil que les plantee el
problema con números en vez de con literales,
por ejemplo, en lugar de
V
=
2
h
anote en el
pizarrón
6 = 3 × 2
, que es una expresión
“similar”. Debajo, escriba
6 = 3 ×
y
pregunte ¿cómo encontrarían el número que
falta? Hay que despejar la expresión, para que
quede
= 6 ÷ 3
.
Para la fórmula
V
=
2
h
hay que hacer un
tratamiento similar con lo que se obtiene
h
=
V
2
. Como ya se sabe que
V
= 500
,
quedaría
h
=
500
2
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SECUENCIA 14
Para empezar a trabajar este problema, tenemos que recordar algunas cosas. Primero, el
volumen de un prisma de base cuadrada se puede calcular multiplicando la medida de la
altura por el cuadrado del lado de la base. Segundo, el material necesario para hacer
la caja de leche se puede calcular usando el desarrollo plano del prisma (ver figura ante-
rior). Por último,
500
ml equivalen a
500
cm
3
.
En resumen, los productores de leche están buscando un prisma rectangular de base
cuadrada con volumen de
500
cm
3
y cuyo desarrollo plano tenga la menor área posible.
Consideremos lo siguiente
Diseñen un empaque de leche con la menor cantidad de material posible.
a) Busquen varias posibilidades y escriban en la siguiente tabla dos de sus mejores pro-
puestas para obtener los empaques
A
y
B
.
Empaque
Lado
(cm)
Altura
(cm)
Volumen
(cm
3
)
Área del desarrollo plano
(cm
2
)
A
500
B
500
Representen con la letra
el lado de la base y con la letra
h
la altura del
empaque de
500
cm
3
.
b) Escriban una expresión que permita calcular
h
a partir de
.
h
=
c) Escriban una expresión que permita calcular el área
A
del desarrollo
plano únicamente a partir de
(la medida del lado de la base).
A
=
Comparen las medidas de sus diseños propuestos y decidan cuál de ellos requiere menor
cantidad de material. Por último, verifiquen si la expresión que encontraron en el inci-
so c) sirve para calcular el área del desarrollo plano a partir del lado
en cada uno de
los empaques
A
y
B
.
Recuerden que:
Para calcular el área del desarrollo
plano de un prisma rectangular se usa
la siguiente fórmula:
A =
4
h
+ 2
!
2
Recuerden que:
El volumen de un prisma
de base cuadrada se
puede calcular usando la
siguiente fórmula:
V
=
!
2
h
Posibles dificultades.
En este inciso es
importante explicar el significado de la palabra
“únicamente”. Se pretende que los alumnos
escriban una expresión para calcular el área A
sin que en ella utilicen el valor de
h
. Para
hacerlo, deben utilizar la expresión para calcular
h
que obtuvieron en el inciso anterior.
La fórmula A =
4
h
+
2
2
quedaría así:
A
= 4
(
500
2
)
+ 2
2
Si los alumnos no logran obtenerla, dígales que
sigan resolviendo la sesión, más adelante
encontrarán ayuda para hacerlo.
Respuesta.
Al escribir una expresión algebraica
siempre es posible escribir otras que sean
equivalentes, pero en este caso al sustituir
h
se
obtiene la expresión:
A
= 4
(
500
2
)
+ 2
2
Esta expresión puede ser reducida en el primer
término, cancelando
con uno de los factores de
2
y multiplicando
4
por
500
:
A
=
2000
+ 2
2