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Libro para el maestro
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MATEMÁTICAS
III
b)
2
x
2
+ 8
x
– 4.5 = 0
c)
x
2
– 3
x
+ 0.6875 = 0
¿CUÁNTAS SOLUCIONES
TIENE UNA ECUACIÓN?
Para empezar
Mientras que las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen a lo más una
solución, las ecuaciones de segundo grado con una incógnita pueden tener dos, una o
ninguna solución.
En las sesiones anteriores trabajaste con ecuaciones donde casi todas tenían dos solucio-
nes, ahora trabajarás con ecuaciones que tienen dos, una o ninguna solución. Cuando se
usa la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática, se puede saber fácilmente
cuántas soluciones tiene. ¡Sólo hay que analizar el valor del
discriminante
:
b
2
–
4ac
!
Consideremos lo siguiente
Escribe un término independiente de modo que la ecuación tenga tantas soluciones como
se indica en el paréntesis de la derecha. Escribe en cada caso las soluciones.
a)
3
x
2
+ 4
x
= 0.
(dos soluciones). Las soluciones son:
y
b)
3
x
2
+ 4
x
= 0.
(una solución). La solución es:
c)
3
x
2
+ 4
x
= 0.
(ninguna solución). No tiene solución porque
Comparen sus soluciones y compartan los procedimientos que siguieron para obtenerlas.
SESIÓN 3
Propósito de la sesión.
Determinar cuántas
soluciones tienen una ecuación cuadrática
mediante el análisis del discriminante.
Sugerencia didáctica.
Explique a los alumnos
que en la fórmula general se le llama “discrimi-
nante” a lo que se encuentra dentro de la raíz
cuadrada. Tiene ese nombre justamente porque
permite discriminar (entendido como diferenciar)
entre aquellas ecuaciones que tienen una, dos o
ninguna solución.
Propósito de la actividad.
Mediante la
exploración de distintos valores del discriminan-
te, se pretende que los estudiantes analicen en
qué casos las ecuaciones de segundo grado
tienen una, dos o ninguna solución.
Sin embargo, puede ser difícil para los alumnos
encontrar dichos valores para el discriminante.
Quizá empiecen probando números al azar.
Permítales utilizar cualquier método que elijan
aunque no logren hallar valores que cumplan la
condición. Más adelante aprenderán lo necesario
para lograrlo.
Respuestas.
a) Menor que
4
3
b) Igual a
4
3
c) Mayor que
4
3
En los incisos a) y c) puede haber muchas
soluciones correctas. Permita que los alumnos
escriban las que encuentren para ver si pueden
llegar a una generalización sobre el valor del
discriminante.
Las soluciones de las ecuaciones dependen del
valor que le asigne al término independiente,
sólo en el inciso b) la solución es
x
= –
4
6
= –
2
3
Sugerencia didáctica.
Dé tiempo suficiente
para que los alumnos comenten al grupo sus
soluciones. Será especialmente útil cuando
existan dos o más soluciones correctas para los
incisos a) y c).
x
=
−(
8
)
(
8
)
2
– 4(
2
)(
–4.5
)
2(
2
)
=
−8
64 + 36
4
=
−8
100
4
=
−8
10
4
x
1
=
−8 + 10
4
=
2
4
= 0.5
x
2
=
−8 – 10
4
=
–18
4
= –4.5
x
=
−(
–3
)
(
–3
)
2
– 4(
1
)(
0.6875
)
2(
1
)
=
3
9 – 2.75
2
=
3
6.25
2
=
3
2.5
2
x
1
=
3 + 2.5
2
=
5.5
2
= 2.75
x
2
=
3 – 2.5
2
=
0.5
2
= 0.25